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La coupe du cône par un plan est une conique. Pour la tracer, nous avons besoin de 5 points. 2 d'entre eux seront les traces de l'iintersection dans le plan yOz, deux autres les traces de l'intersection dans le plan xOz, et le 5ème sera obtenu par une symétrie centrale par rapport au centre de la conique.
 Préparation du travail :
Ouvrir la figure 3D.fig et placer un système d'axes orthonormés.
Définir le cône en plaçant son sommet S sur Oz et son rayon de base sur Oy, et construire le triangle représentant sa trace dans le plan yOz.
Définir le plan de coupe : perpendiculaire au plan yOz. Sa trace dans ce plan est le segment AB.
Afficher les coordonnées de S, A et B et placer ces points avec la macro point2D, sur la base (Oy, Oz). Tracer la droite (AB).
Construire l'ellipse de base avec la macro ellipse_oblique.
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Trace de la coupe dans le plan yOz.
Construire les deux génératrices du cône appartenant à ce plan, ainsi que la droite (AB). Celle-ci coupe les génératrices en M et N, les deux premiers points de la conique. Le milieu C de MN est le centre de la conique.
Trace de la coupe dans le plan xOz.
Construire les deux génératrices appartenant à ce plan.
La droite (AB) coupe l'axe du cône en I, qui appartient donc aussi au plan xOz.
De I, menons la parallèle à Ox : elle coupe les génératrices en P et Q, deux autres points de la conique.
Le 5ème point s'obtient en prenant le symétrique de P (ou de Q) par rapport à C.
Il ne reste plus qu'à tracer la conique.
Pour revoir la construction, utiliser le curseur en bas de l'applet, ou la flèche située à gauche.
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Cette construction permet de voir les sections elliptique et hyperbolique (manipuler la figure), mais elle présente deux exceptions
- le cas de la parabole, car le point C est à l'infini : il n'y a plus que 3 points pour construire la conique
- le cas du "cercle", car les points I et C sont confondus, et il n'y a plus que 4 points.
Il faut une autre méthode pour construire le 5ème point, afin que la construction soit plus générale.
Nous allons construire le point de la conique qui se trouve sur la génératrice passant par E, point du cercle de base situé sur la bissectrice de xOy. Soit (G) cette génératrice
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Intersection du plan de coupe et du plan de base.
La droite (AB) coupe la droite (Oy) en H. Depuis H, menons la parallèle à Ox, soit (D) cette droite : c'est l'intersection du plan de base et du plan de coupe.
Image du plan de coupe. A partir de H et de A, et avec des translations de vecteur Ox, traçons le parallélogramme image du plan de coupe.
Image du plan de base. Le "pied" de A dans le plan de base est à l'intersection de la droite (Oy) et de la parallèle à Oz menée par A. Traçons comme précédemment le parallélogramme image du plan de base.
- Ces deux parallélogrammes ne servent pas pour la construction, mais aident à mieux visualiser (changer l'angle de vue).
Construction du 5ème point. Traçons la droite (OE). Elle coupe (D) en K.
Traçons la droite (KI) : elle appartient au plan (OES), et son intersection avec (G) est le point recherché R.
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Il ne reste plus qu'à dessiner la conique MNPQR.
Cette construction est transformée en macro : coupe_cone (la conique seule) et coupe_cone1 (avec le plan de coupe).
Voir aussi les figures Cone et Cone1.
La figure réalisée avec un segment de coupe quelconque ne permet pas d'accéder au cas de la parabole. Il faut alors contraindre le segment à être parallèle à un côté du triangle. Cabri nous indique bien que la conique obtenue est une parabole.
- On peut remarquer que les sections gardent leur spécificité (ellipse, hyperbole ou parabole), même vues en perspective.
Pour voir quelques propriétés des coniques, se reporter à ce dossier.
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