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Pas simple... Observons ses caractéristiques.

En se plaçant en vue de dessus (manipuler la figure), on reconnaît deux pentagones réguliers ABCDE et A'B'C'D'E' situés dans des plans parallèles. Il nous suffira de les construire pour avoir, par symétrie centrale, tous les sommets du polyèdre.

Le petit pentagone a pour côté l'arête du dodécaèdre. Le plus grand a pour côté la distance entre deux sommets non consécutifs du précédent. Nous pouvons déterminer le rapport de leurs côtés.

Il ne restera plus qu'à trouver leurs altitudes.

La figure ci-dessous permet de suivre la construction pas-à-pas :

-ouvrir la figure 3Dech.fig

- créer un système d"axes orthonormés

- placer un pentagone régulier sur le cercle de rayon 1, et mesurer les distances entre 2 sommets voisins et entre 2 sommets non voisins.

- calculer le rapport de ces distances

- déterminer les coordonnées des sommets du pentagone et les reporter dans le plan xOy de la base 3D avec la macro point2D et tracer le polygone

- construire l'homothétique de ce polygone par rapport au centre dans le rapport calculé plus haut.

Il faut désormais translater verticalement ces deux polygones.

- raisonnons maintenant dans un plan vertical, et cherchons à déterminer le segment AA', dont la longueur est égale à l'arête du dodécaèdre.

- construisons l'homothétique de I dans le rapport des rayons. Soit A ce point. Avec le compas, traçons un cercle de centre A et de rayon égal à l'arête : ce cercle contient A', qui se trouve également à l'aplomb de I.

- lisons les coordonnées de A' (surprise !)

- le centre du polyèdre se trouve sur la médiatrice de AA' et sur l'axe vertical (point P : reporter ce point sur la base 3D)

- translatons le grand pentagone de vecteur PO, et le petit de vecteur PO + OJ.

Il ne reste plus qu'à compléter le dodécaèdre.

Pour les troncatures, voir cette figure, et celle-là, et aussi celle-là.

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