- Télécharger les figures et macros de cette page (9 ko) : tronca1.zip
Nous allons ici opérer la troncature des sommets du cube, ce qui permettra d'obtenir d'autres polyèdres.
Le paramétrage de la troncature s'effectue par un nombre compris entre 0 et 0,5, qui correspond à la fraction de l'arête découpée.
Ouvrir la figure du cube.
Tracer une droite horizontale, puis un segment AB sur cette droite. Nous allons placer un point P sur la moitié de gauche de ce segment;
- Pour éviter des effets de bord lors du coloriage des faces, il ne faut pas que notre point se trouve aux extrémités. Alors nous construirons les points C et D par des homothéties de B par rapport à A, respectivement dans les rapports 0.001 et 0.499, et placerons P sur le segment CD.
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Mesurer les longueurs AB et AP et calculer le rapport r = AP/AB : c'est le rapport de troncature.
Sur le cube, en partant d'un sommet, construisons 3 points, homothétiques des sommets voisins dans le rapport r, puis le triangle qui les joint.
- Toute action répétitive doit être transformée en macro. Ici les objets initiaux sont le sommet et ses 3 voisins, ainsi que le nombre r, et l'objet final est le triangle. Il n'est pas nécessaire d'enregistrer cette macro, elle sera disponible seulement pour cette figure.
Tracer ainsi les troncatures des 8 sommets
- On peut n'en construire que 4, et les 4 autres par symétrie centrale.
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Il faut désormais colorier le polyèdre, avec les macros face_visible_triangle.mac et face_visible octo (à construire sur place). Le résultat est la figure cube_tron2.fig.
Pour certaines valeurs de r on obtient un polyèdre semi-régulier, respectivement le cube tronqué (r = 0.29) et le cuboctaèdre (r = 0.50). Voir aussi cette figure.
Pour d'autres troncatures, voir celle-ci et celle-là.
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